Rätvinklig liksidig triangel
Hem / Utbildning & Karriär / Rätvinklig liksidig triangel
Detta delar upp triangeln i två likadana rätvinkliga trianglar. Om Pythagoras sats håller så är triangel rätvinklig.
Vi kan kontrollera om den tredje triangel i diagrammet ovan är rätvinklig genom att använda Pythagoras sats.
52 + (5)2 = 102
25 + 75 = 100
Lägg märke till längden på hypotenusan (10cm) i denna triangel är dubbelt så lång som den kortaste sidan (5cm).
När detta är fallet är alltid vinklarna i triangeln 30°, 60°och 90°.
Exempel 3
Finn arean på en liksidig triangel med sidor av längden 10cm,
Vi börjar med att rita in höjden, h, på triangeln.
Nu kan vi använda Pythagoras sats till att beräkna höjden.
h2 + 212 = 302
h2 = 302 − 212 = 459
h ≈ 21,4
y = h − 10 ≈ 21,4 − 10 ≈ 11,4 cm
Genom att amvända förhållanderegeln för likformiga trianglar får vi:
y/h = x/ 21
x ≈ 21∙11,4/ 21,4 ≈ 11 cm
Därför är längden på den parallella linjen 22 cm.
Vi ska rita den rätvinkliga triangeln genom att använda hypotenusan AB som baslinje så att vinkeln i hörnet är 90°.
I likbenta trianglar är två sidor lika långa och basvinklarna lika stora.
För en allmän triangel med sidor a, b och c, kan vi skriva omkretsen så här:
$$ O=a+b+c$$
När vi ska komma fram till en formel för trianglars area, kan det vara bra att tänka på en triangel som hälften av en parallellogram.
I figuren här nedanför har vi skissat in en parallellogram, vars area alltså är dubbelt så stor som triangeln i samma figur.
Som vi vet från avsnittet om fyrhörningar, kan vi beräkna en parallellograms area som basen multiplicerat med höjden.
I vart och ett av triangelns hörn finns en vinkel och hörnen är sammanbundna av tre sidor.
Trianglar har alltid en vinkelsumma som är lika med 180°. Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180°, måste var och en av den liksidiga triangelns vinklar vara 60°:
$$ 3v={180}^{\circ} $$
$$v=\frac{{180}^{\circ}}{3}={60}^{\circ}$$
Trianglars omkrets och area
En triangels omkrets, O, är lika med summan av sidornas längd.
Höjden som ritas på hypotenusan delar triangeln i två trianglar. Vi kommer att märka sidorna på den mindre triangeln med bokstäverna x, y och z.
b/c = h/a
h = ab/c ≈ 10∙7/12,2 ≈ 5,7 cm
Areorna hittas nu enkelt.
Area F1 = ½∙b∙h ≈ ½∙4∙5,7 ≈ 11,4 cm2
Area F2 = ½∙a∙h ≈ ½∙8,2∙5,7 ≈ 23,4 cm2
Prova test 1 på Trianglar.
Kom ihåg att använda checklistan för att hålla ordning på ditt arbete.
.
Ur figuren ser vi att basens längd är lika med 5,8 meter och höjdens längd är lika med 3,0 meter.Dessa tre tringlar är därför likformiga.
Följande regler gäller för alla rätvinkliga trianglar:
Höjden ritad från ett hörn till hypotenusan delar in en rätvinklig triangel i två trianglar som båda är likformiga med den originella triangeln.
Detta ger upphov till tre uppsättningar förhållanden.
Genom att använda de grekiska bokstäverna a för den motsatta sidan till vinkeln märkt x° och b för den motsatta sidan till vinkeln märkt 90°− x° får vi följande:
De två mindre trianglarna är likformiga därför
Den originella triangeln och triangeln med den övre vinkeln x är likformiga därför
Den originella triangeln och triangeln med den övre vinkeln 90°−x° är likformiga därför
Exempel 5
En rätvinklig triangel är given med de två kortare sidorna på längderna 7 cm och 10 cm.
Sidorna på en rätvinklig triangel ABC bekräftar Pythagoras sats, det är att a2 + b2 = c2.
Motsatsen är också sann. Den vinkelrätta linjen från hörnet till baslinjen (höjden) i en likbent triangel delar triangeln i två likadana rätvinkliga trianglar.
Liksidig. Likbent. Rätvinklig.
I en liksidig triangel är alla sidor lika och alla vinklar är 60°.
I en likbent triangel är två sidor av samma längd och två vinklar (vinklarna som formas av baslinjen) är likadana.
Denna punkt kallas ibland den vinkelrätta projektionen av punkt B på linje b.
Två trianglar sägs vara likformiga om alla vinklar i en av trianglarna är lika med alla vinklarna i den andra. Vi kan enkelt se att de två basvinklarna måste vara 90° − x° (på höger sida) och x° (på vänster sida) eftersom summan av vinklarna i alla trianglar är 180°.
Lägg märke till att alla vinklar i båda de mindre trianglarna och även i den originella triangeln ABC är lika, och är 90°, x° och 90° − x°.
Hitta längden på en linje som ritas genom de två likadana sidorna, parallellt med basen och 10 cm ovanför den. Om vi vill visa att två trianglar är likformiga så räcker det att visa att två vinklar är lika. Att en vinkel i en triangel är rät innebär också att de två övriga vinklarna tillsammans är 90°, eftersom vinkelsumman i en triangel alltid är 180°.
Likbenta trianglar
En likbent triangel är en triangel där två sidor är lika långa.
Eftersom de båda sidorna AC och BC i triangeln ovan är lika långa är triangeln likbent.
En användbar egenskap hos likbenta trianglar är att två av triangelns vinklar är lika stora.
Därför kan vi beräkna triangelns area så här:
$$ A=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{5,8\cdot 3,0}{2}=\frac{17,4}{2}=8,7\,{m}^{2}$$
Triangelns area är alltså 8,7 m2.
Videolektioner
Här går vi igenom trianglar.
Här går vi igenom trianglars area och omkrets.
I den här videon går vi igenom trianglar.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
KÖP PREMIUM
Så funkar det för:
Elever/StudenterLärareFöräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration.
I figuren ovan är det vinklarna vid hörnen A och B som är lika stora. Följande är nu sant:
Linjen som vi har ritat delar sidan c i två delar, x och r och sidan a delas till z och t.