Upphöjt till en halv

Hem / Historia, Vetenskap & Forskning / Upphöjt till en halv

I exemplen ovan är exponenten ett positivt tal, men den kan också vara ett negativt tal. Potenser och potenslagarna är mycket användbara sätt att uttrycka matematik som annars skulle bli mycket besvärlig att läsa och skriva.

$x^2=25$2=25

$x=\pm\sqrt{25}$=±√25

$x=\pm5$=±5

Här gäller alltså att likheten uppfylls för både

$x=-5$=−5 eftersom $x^2=\left(-5\right)^2=25$‍2=(−5)2=25

och

$x=5$=5  eftersom att $x^2=5^2=25$2=52=25.

Observera även att  $-\sqrt{25}\ne\sqrt{-25}$−√25≠√−25.

Exempel 4

a) Beräkna  $\sqrt{25}$√25

b) Lös ekvationen $x^2=25$2=25

Lösning

a) Kvadratroten ur ett tal är det icke-negativa tal som har en kvadrat som är lika med ursprungstalet.

Det innebär att $\sqrt{25}=5$√25=5 eftersom $5^2=25$52=25.

b) Lösningen till en ekvation motsvarar de värden på variabeln som uppfyller likheten.



Ex: 104 (tio upphöjt till fyra), som är lika med 10·10·10·10.

Ex: b3 (b upphöjt till tre), som är lika med b·b·b. Roten ur används i en mängd olika beräkningar och för att lösa ekvationer. Det är alltså tecknet ± framför roten ur som gör att $x$ kan anta både den positiva och negativa lösningen.


Det är svårare att beräkna utan en räknare, men slår vi det på miniräknaren får vi $\sqrt{2,25}=1,5$√2,25=1,5.

Exempel 3

Beräkna $4\cdot\sqrt{9}-2\cdot\sqrt{4}$4·√9−2·√4

Lösning

Enligt prioriteringsreglerna börjar vi med att beräkna roten ur, som kan ses som en form av potensräkning.

$4\cdot\sqrt{9}-2\cdot\sqrt{4}=4\cdot3-2\cdot2$4·√9−2·√4=4·3−2·2

Sedan beräknar vi multiplikationen och avslutar med subtraktion.

$4\cdot3-2\cdot2=12-4=8$4·3−2·2=12−4=8

Kvadratrötter hänger nära ihop med potenser och potenslagarna då roten ur är en form av potens.

I fysiken förekommer det ofta på grund av att det är extrema storleksskillnader mellan volymen på ett äpple och en planet.

Kvadratroten ur talet $a$ är det icke-negativa talet $b$ vars kvadrat är lika med $a$.

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$√·√=.

Det är bra att lägga på minnet att du alltid får ett positivt tal som resultat när du drar kvadratroten ur ett tal.

Exempel 1

a) Beräkna $3^2$32

b) Beräkna $\sqrt{9}$√9

Lösning

a) Skrivsättet $3^2$32 betyder att tre ska multipliceras med sig själv en gång, det vill säga

$3^2=3\cdot3=9$32=3·3=9

b) Här söker vi det tal som multiplicerat med sig själv blir $9$9.

I a) uppgiften konstaterade vi att $3\cdot3=9$3·3=9.

Alltså gäller att $\sqrt{9}=3$√9=3.

Här kommer några vanliga exempel på kvadratrötter som är bra att lära sig utantill.

$\sqrt{0}=0$√0=0, eftersom $0^2=0$02=0

$\sqrt{1}=1$√1=1, eftersom $1^2=1$12=1

$\sqrt{4}=2$√4=2, eftersom $2^2=4$22=4

$\sqrt{9}=3$√9=3, eftersom $3^2=9$32=9

$\sqrt{16}=4$√16=4, eftersom $4^2=16$42=16

$\sqrt{25}=5$√25=5, eftersom $5^2=25$52=25

$\sqrt{36}=6$√36=6, eftersom $6^2=36$62=36

$\sqrt{49}=7$√49=7, eftersom $7^2=49$72=49

$\sqrt{64}=8$√64=8, eftersom $8^2=64$82=64

$\sqrt{81}=9$√81=9, eftersom $9^2=81$92=81

$\sqrt{100}=10$√100=10, eftersom $10^2=100$102=100

Och bonus är om du även kan dessa utantill.

$\sqrt{121}=11$√121=11, eftersom $11^2=121$112=121

$\sqrt{144}=12$√144=12, eftersom $12^2=144$122=144

$\sqrt{169}=13$√169=13, eftersom $13^2=169$132=169

$\sqrt{225}=15$√225=15, eftersom $15^2=225$152=225

När du beräknar kvadratroten ur ett tal så får du det icke-negativa tal som, multiplicerat med sig själv, ger det ursprungliga talet.

Exempel 2

Beräkna följande

a) $\sqrt{36}$√36

b) $\sqrt{144}$√144

c) $\sqrt{1}$√1

d) $\sqrt{2,25}$√‍2,25

Lösning

a) Här söker vi det tal multiplicerat med sig själv som blir $36$36.

Men observera alltså att $x=\pm\sqrt{16}$=±√16 och $\sqrt{16}=4$√16=4. Man kan säga att potenser är för multiplikationen, vad multiplikationen är för additionen. Det är viktigt att känna till att det då kan finnas två lösningar, även om roten ur ett tal alltid är positivt.

Om du exempelvis har ekvationen $x^2=16$2=16  så har vi lösningarna $x=\pm4$=±4 eftersom $4^2=16$42=16 och $\left(-4\right)^2=16$(−4)2=16.

Kvadratroten ur ett tal är det tal som multiplicerat med sig själv blir ursprungstalet.
Det talet är $6$6 då $6\cdot6=36$6·6=36.
Alltså gäller att $\sqrt{36}=6$√36=6.

b) Här söker vi det tal multiplicerat med sig själv som blir $144$144 . Man får att


 

  • Exponenten annat än ett heltal.

    På datorer och miniräknare används tecknet ^ för att representera potenser: \(5\)^\(4\).

    Ett tal skrivet på den här formen kallas för en potens. Bland annat är det viktigt för att kunna använda sig av Pythagoras sats.

    Vanligt fel

    Viktigt att notera här är att när du tar roten ur ett tal så ges alltså endast ett positivt tal, inte något negativt tal.

    När du löser en andragradsekvation kan en av lösningarna vara negativ.

    Ett viktigt användningsområde för kvadratrötter är att lösa andragradsekvationer.

    Då roten ur är motsatsen till kvadraten (upphöjt till) så är det ett sätt att lösa ut en okänd variabel.

    I uttrycket \(5^4\) kallas siffran \(5\) för bas och siffran \(4\) för exponent.

    $$bas^{exponent}=potens$$

    Det finns ett antal potenslagar som är bra att komma ihåg och som talar om för oss hur vi ska räkna med potenser. 

    Multiplikation av potenser med samma bas

    Om vi har två potenser med samma bas och ska multiplicera dessa potenser, då kan vi skriva det som i följande exempel:

    $$ \\ {5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5={5}^{{}^{6}}$$

    Detta kan också skrivas

    $${5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}={5}^{{}^{2+4}}={5}^{{}^{6}}$$

    Eftersom för något tal, som vi kallar a, gäller alltså att

    $$a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^6$$

    Vilket uttrycks allmänt som

    $$ a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$$

    I ord säger vi att vid multiplikation av potenser adderas exponenterna om potenserna har gemensam bas.

    Division av potenser med samma bas

    På motsvarande sätt som vid multiplikation av potenser med samma bas, kan man skriva en division av två potenser med samma bas som i följande exempel:

    $$\frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{1}={3}^{{}^{3}} $$

    Man kan också skriva detta som

    $$ \frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}={3}^{{}^{6-3}}={3}^{{}^{3}} $$

    och allmänt som

    $$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$

    $$\text{där}\;a \neq 0 $$

    I ord säger vi att vid division av potenser subtraheras exponenterna om potenserna har gemensam bas.

    Potens av en potens

    Har vi ett potensuttryck och ska beräkna potensen av det, då får vi en uppställning som kan se ut som i det här exemplet:

    $$ (11^3)^4=11^3\cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3$$

    Om vi tillämpar regeln om multiplikation av potenser med samma bas, som vi kom fram till tidigare i det här avsnittet, upprepade gånger, då får vi

    $$ 11^3 \cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3=11^{3+3+3+3}=11^{12}$$

    Vi vet att

    $$3+3+3+3=3\cdot4=12$$

    Därför gäller

    $$ (11^3)^4=11^{3\cdot \, 4}=11^{12} $$

    Allmänt blir detta

    $$ (a^x)^y = a^{x \cdot \, y}$$

    Potens av en produkt

    Vi kan också ha potensuttryck som har mer komplicerade baser.

    upphöjt till en halv



    Ex: (tre fjärdedelar upphöjt till två) som är lika med . Men den kan bl.a. Det är nämligen så att $\sqrt{-25}=5i$√−25=5, vilket tillhör de komplexa talen. I sådana lägen kan det vara bra att kunna skriva detta på ett mer kompakt sätt, samtidigt som betydelsen av uttryck bevaras.

    Till exempel kan man se multiplikation som ett mer kompakt sätt att uttrycka upprepad addition.

    $$5+5+5+5$$

    kan vi ju istället skriva som

    $$5\cdot 4$$

    vilket är enklare.

    Det finns en liknande genväg när det gäller multiplikation:

    $$5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$$

    kan vi istället skriva som

    $$5^4$$

    vilket utläses som "fem upphöjt till fyra" och betyder just talet \(5\) gånger sig självt fyra gånger.